# Variables gaussiennes

## Définition

En probabilité, une variable aléatoire réelle *X* est une *variable gaussienne* d'espérance *µ* et d'écart type $\\sigma$ (donc de variance $ \\sigma^2$) si elle admet pour fonction caractéristique $\\scriptstyle \\ \\phi_X,\\ $ définie, pour $\\scriptstyle \\ t\\in\\mathbb{R},\\ $ par $\\phi\_X(t)=\\mathbb{E}\\left\[e^{itX}\\right\]=\\mathrm{e}^{-\\tfrac{\\sigma^2}{2}\\ t^2\\ +\\ it\\mu},$

où $\\sigma\\ge 0,$ et où $\\mu$ désigne un nombre réel quelconque.}}

## Cas non dégénéré et cas dégénéré

Si $\\sigma$ n'est pas nul, la variable gaussienne *X* admet une densité de probabilité *f* définie, pour tout réel *x*, par

$f(x)=\\tfrac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}}\\ \\exp\\left(-\\frac{\\left(x-\\mu\\right)^2}{2\\sigma^2}\\right).$

* Si $\\sigma=0,\\ $ on parle de variable gaussienne *dégénérée* : la variable gaussienne *dégénérée* est alors tout simplement une constante, et ne possède pas de densité de probabilité. Sa loi de probabilité est la masse de Dirac en *µ*. Cette extension du vocable *variable gaussienne* aux variables constantes est nécessaire à la définition rigoureuse d'un vecteur gaussien.

## Loi normale

Si *X* est une *variable gaussienne* d'espérance *µ* et d'écart type $\\sigma$, on note habituellement

$X \\sim \\mathcal{N}(\\mu,\\, \\sigma^2),$on a aussi utilisé la notation $\\mathcal{N}(\\mu,\\, \\sigma)$, mais cette notation, qui n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-)normale sur $\\ \\R^n$, tend à céder la place à la notation "classique" $\\mathcal{N}(\\mu,\\, \\sigma^2).$ et on dit que *X* suit la loi normale de paramètres *µ* et $\\sigma$.

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre *n* très grand. Cette loi a été mise en évidence par Pierre-Simon de Laplace et Carl Friedrich Gauss au XIXe et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite *courbe en cloche* ou courbe de Gauss. L'importance de la loi normale découle essentiellement du théorème central limite.

## Invariance par fonction affine

Si$Y \\sim \\mathcal{N}(0,\\, 1),$ et si *X* est une variable gaussienne de paramètres *µ* et $\\sigma$, alors *X* a même loi de probabilité qu'une fonction affine de *Y*, par exemple que $\\mu + \\sigma\\Y$, mais aussi que $\\mu - \\sigma\\Y$. L'image d'une variable gaussienne par une fonction affine est encore une variable gaussienne. }}

## Voir aussi

* [/divers/cours/probabilites/lois_usuelles_de_probabilites](/doc/4e79f1a5-77d2-4e49-9d45-d4edc36e0fb3)
* [/divers/cours/probabilites/convergence_et_theoremes_limites](/doc/ae9b9ef6-a5a6-4d80-bdc9-8e223cf4e66e)