# Variables aléatoires

Une *variable aléatoire* est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Une *variable aléatoire* est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : $\\ \\scriptstyle X\\ :\\ \\omega\\ \\mapsto\\ X(\\omega)\\in\\R$. La *variable aléatoire* peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de $\\scriptstyle \\R^n$ ou $\\scriptstyle \\C^n$, et on parle alors de vecteur aléatoire : $\\ \\scriptstyle\\ X\\ :\\ \\omega\\ \\mapsto\\ X(\\omega)\\in\\R^n$ ou $\\scriptstyle\\ X\\ :\\ \\omega\\ \\mapsto\\ X(\\omega)\\in \\C^n$. La *variable aléatoire* peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (p.e. une fonction de $\\ \\scriptstyle C(\\mathbb{R}\_+,\\mathbb{R}^d)$), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les *variables aléatoires*, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, …) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d'une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Soient $\\ \\scriptstyle (\\Omega, \\mathcal{F}, \\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $\\ \\scriptstyle (E, \\mathcal{E})$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de $\\ \\scriptstyle\\Omega$ vers $\\ \\scriptstyle E$, toute fonction mesurable $\\ \\scriptstyle X\\ $ de $\\ \\scriptstyle\\Omega$ vers $\\ \\scriptstyle E$.

Cette condition de mesurabilité de $\\ \\scriptstyle X$ assure que l'image réciproque par $\\ \\scriptstyle X$ de tout élément $\\ \\scriptstyle B$ de la tribu (mathématiques)|tribu $\\ \\scriptstyle \\mathcal{E}$ possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur $\\ \\scriptstyle (E, \\mathcal{E})$, une mesure de probabilité, notée $\\ \\scriptstyle \\mathbb{P}\_X$, par :$\\mathbb{P}\_X(B) = \\mathbb{P}\\left(X^{-1}(B)\\right) = \\mathbb{P}\\left(X\\in B\\right).$ La mesure $\\ \\scriptstyle \\mathbb{P}\_X$ est l'image, par l'application $\\ \\scriptstyle X\\ $, de la probabilité $\\ \\scriptstyle \\mathbb{P}$ définie sur $\\ \\scriptstyle (\\Omega, \\mathcal{F})$. [cours:probabilites:theoreme](/_media/cours/probabilites/theoreme)

## Exemples

Dans la suite, $\\ \\scriptstyle \\mathcal{B}(E)$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique $\\ \\scriptstyle E$.

* Lorsque $\\ \\scriptstyle (E, \\mathcal{E})=(\\mathbb{R},\\mathcal{B}(\\mathbb{R}))$, on dit que $\\ \\scriptstyle X$ est une variable aléatoire réelle.
* Lorsque, pour un entier $\\ \\scriptstyle d\\ge 1$, $\\ \\scriptstyle (E, \\mathcal{E})=(\\mathbb{R}^d,\\mathcal{B}(\\mathbb{R}^d))$, on dit que $\\ \\scriptstyle X$ est un vecteur aléatoire.
* Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable $\\ \\scriptstyle S\\subset E$ tel que $\\ \\scriptstyle \\mathbb{P}(X\\in S)=1$, on dit que $\\ \\scriptstyle X$ est une variable discrète. Par exemple, le choix $\\ \\scriptstyle (S,E)=(\\mathbb{N},\\mathbb{R})$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles.
* Le mouvement brownien $\\ \\scriptstyle B=(B(t))\_{t\\ge 0}$, qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire $\\ \\scriptstyle B$ à valeurs dans l'espace $\\ \\scriptstyle E=C(\\mathbb{R}\_+,\\mathbb{R}^3)$ des fonctions continues de $\\ \\scriptstyle \\mathbb{R}\_+$ dans $\\ \\scriptstyle \\mathbb{R}^3$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque $\\ \\scriptstyle t\\ge 0$, $\\ \\scriptstyle B(t)$, qui représente la position de la particule à l'instant $\\ \\scriptstyle t$, est une variable aléatoire réelle dont la loi est loi normale|gaussienne. Ainsi $\\ \\scriptstyle B$ peut aussi être vu comme une famille (mathématiques)|famille de variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles.