Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : $$\begin{gathered} scriptstyleX \\ : \\ omega \\ mapsto \\ X( \\ omega) \\ in \\ R \end{gathered}$$. La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de $$\begin{gathered} scriptstyle \\ {R}^n \end{gathered}$$ ou $$\begin{gathered} scriptstyle \\ {C}^n \end{gathered}$$, et on parle alors de vecteur aléatoire : $$\begin{gathered} scriptstyle \\ X \\ : \\ omega \\ mapsto \\ X( \\ omega) \\ in \\ {R}^n \end{gathered}$$ ou $$\begin{gathered} scriptstyle \\ X \\ : \\ omega \\ mapsto \\ X( \\ omega) \\ in \\ {C}^n \end{gathered}$$. La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (p.e. une fonction de $$\begin{gathered} scriptstyleC( \\ mathbbR\_+, \\ mathbb{R}^d) \end{gathered}$$), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, …) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d'une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Soient $$\begin{gathered} scriptstyle( \\ Omega, \\ mathcalF, \\ mathbbP) \end{gathered}$$ un espace probabilisé et $$\begin{gathered} scriptstyle(E, \\ mathcalE) \end{gathered}$$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de $$\begin{gathered} scriptstyle \\ Omega \end{gathered}$$ vers $scriptstyleE$, toute fonction mesurable $\ \scriptstyle X\ $ de $$\begin{gathered} scriptstyle \\ Omega \end{gathered}$$ vers $scriptstyleE$.

Cette condition de mesurabilité de $scriptstyleX$ assure que l'image réciproque par $scriptstyleX$ de tout élément $scriptstyleB$ de la tribu (mathématiques)|tribu $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathcalE \end{gathered}$$ possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur $$\begin{gathered} scriptstyle(E, \\ mathcalE) \end{gathered}$$, une mesure de probabilité, notée $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathbbP\_X \end{gathered}$$, par :$$\begin{gathered} mathbbP\_X(B)= \\ mathbbP \\ left(X^{-1}(B) \\ right)= \\ mathbbP \\ left(X \\ inB \\ right). \end{gathered}$$ La mesure $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathbbP\_X \end{gathered}$$ est l'image, par l'application $\ \scriptstyle X\ $, de la probabilité $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathbbP \end{gathered}$$ définie sur $$\begin{gathered} scriptstyle( \\ Omega, \\ mathcalF) \end{gathered}$$. cours:probabilites:theoreme

Exemples

Dans la suite, $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathcalB(E) \end{gathered}$$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique $scriptstyleE$.

• Lorsque $$\begin{gathered} scriptstyle(E, \\ mathcalE)=( \\ mathbbR, \\ mathcalB( \\ mathbbR)) \end{gathered}$$, on dit que $scriptstyleX$ est une variable aléatoire réelle.

• Lorsque, pour un entier $$\begin{gathered} scriptstyled \\ ge1 \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} scriptstyle(E, \\ mathcalE)=( \\ mathbb{R}^d, \\ mathcalB( \\ mathbb{R}^d)) \end{gathered}$$, on dit que $scriptstyleX$ est un vecteur aléatoire.

• Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable $$\begin{gathered} scriptstyleS \\ subsetE \end{gathered}$$ tel que $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathbbP(X \\ inS)=1 \end{gathered}$$, on dit que $scriptstyleX$ est une variable discrète. Par exemple, le choix $$\begin{gathered} scriptstyle(S,E)=( \\ mathbbN, \\ mathbbR) \end{gathered}$$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles.

• Le mouvement brownien $$\begin{gathered} scriptstyleB=(B(t))\_t \\ ge0 \end{gathered}$$, qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire $scriptstyleB$ à valeurs dans l'espace $$\begin{gathered} scriptstyleE=C( \\ mathbbR\_+, \\ mathbb{R}^3) \end{gathered}$$ des fonctions continues de $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathbbR\_+ \end{gathered}$$ dans $$\begin{gathered} scriptstyle \\ mathbb{R}^3 \end{gathered}$$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque $$\begin{gathered} scriptstylet \\ ge0 \end{gathered}$$, $scriptstyleB(t)$, qui représente la position de la particule à l'instant $scriptstylet$, est une variable aléatoire réelle dont la loi est loi normale|gaussienne. Ainsi $scriptstyleB$ peut aussi être vu comme une famille (mathématiques)|famille de variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles.