# Moments de variables aléatoires

En probabilités, on définit le moment d'ordre `n>0` d'une variable aléatoire`X`, s'il existe, le nombre $m\_n = \\mathbb{E}\[~X^n~\] \\,$.

## Notion de moment

La notion de *moment* en mathématiques, notamment en variable aléatoire| calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \\to R $ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $\\R$. Étant donné un entier naturel `n`, le `n`-ième moment de $f$ est défini (sous réserve d'existence) par : :$m\_n(f)=\\int\_I x^n\\,f(x)\\,dx.$

*Remarque* : pour un entier naturel `n` donné, l'ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d'ordre `n` existe est un espace vectoriel réel, et l'application $m\_n : f \\mapsto m\_n(f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

## Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre `k`:

\:$\\hat m^k= \\frac{1}{n}\\sum\_{i = 1}^{n} X^k\_i\\,\\!$

à partir de l'échantillon $X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n$.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

## Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre `n>0` d'une variable aléatoire`X`, s'il existe, le nombre $\\mu\_n = \\mathbb{E}\[~(X-\\mathbb{E}(X))^n~\] \\,$.

## Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

* Le moment d'ordre un de la variable : $m\_1 = \\mathbb{E}\[X\] \\,$ (noté souvent *µ*, parfois *m*) correspond à l'espérance.
* Le moment d'ordre deux de la variable *centrée* : $\\mu\_2 = \\sigma^2 = \\mathbb{E} \\left \[\\left(X-\\mu\\right)^2\\right\] \\,$ (notée `V(X)` ) correspond à la variance.
* Le moment d'ordre trois de la variable *centrée-réduite* : $\\gamma\_1 = \\frac {\\mu\_3} {\\sigma^3} = \\mathbb{E} \\left\[ \\left(\\frac{X-\\mu}{\\sigma} \\right)^3 \\right\] \\,$ correspond au coefficient d'asymétrie.
* Le moment d'ordre quatre de la variable *centrée-réduite* : $\\beta\_2 = \\frac{\\mu\_4} {\\sigma^4} = \\mathbb{E}\\left\[\\left(\\frac{X-\\mu}{\\sigma}\\right)^4\\right\] \\,$ correspond au kurtosis.