Moments de variables aléatoires

En probabilités, on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoireX, s'il existe, le nombre m\_n = \\mathbb{E}\[~X^n~\] \\,.

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en variable aléatoire| calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to R $ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $R$. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de $f$ est défini (sous réserve d'existence) par : :$$\begin{gathered} m\_n(f)= \\ int\_I{x}^n \\ ,f(x) \\ ,dx. \end{gathered}$$

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application $$\begin{gathered} m\_n:f \\ mapstom\_n(f) \end{gathered}$$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

:$$\begin{gathered} hat{m}^k= \\ frac1n \\ sum\_{i=1}^n{X}^k\_i \\ , \\ ! \end{gathered}$$

à partir de l'échantillon $$\begin{gathered} X\_1,X\_2, \\ cdots,X\_n \end{gathered}$$.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoireX, s'il existe, le nombre \\mu\_n = \\mathbb{E}\[~(X-\\mathbb{E}(X))^n~\] \\,.

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

• Le moment d'ordre un de la variable : m\_1 = \\mathbb{E}\[X\] \\, (noté souvent µ, parfois m) correspond à l'espérance.

• Le moment d'ordre deux de la variable centrée : \\mu\_2 = \\sigma^2 = \\mathbb{E} \\left \[\\left(X-\\mu\\right)^2\\right\] \\, (notée V(X) ) correspond à la variance.

• Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite : \\gamma\_1 = \\frac {\\mu\_3} {\\sigma^3} = \\mathbb{E} \\left\[ \\left(\\frac{X-\\mu}{\\sigma} \\right)^3 \\right\] \\, correspond au coefficient d'asymétrie.

• Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : \\beta\_2 = \\frac{\\mu\_4} {\\sigma^4} = \\mathbb{E}\\left\[\\left(\\frac{X-\\mu}{\\sigma}\\right)^4\\right\] \\, correspond au kurtosis.