# Correction du Partiel de R.O de 2007-2008

## Exercice 1

<latex> \\[ (P) \\left\\{ \\begin{aligned} \\mbox{Minimiser} -x_2 \\\\ \\mbox{Sous les contraintes} :\\\\ 3x_1 + 2x_2 \\le 6 \\\\ -3x_1 + 2x_2 \\le 0 \\\\ x_1,x_2 \\in \\mathbb{N} \\end{aligned} \\right. \\] </latex>

### Question 1)

Pour $x\_1,x\_2$ vérifiant $(P)$ on a :

$6 - 3x\_1 + 2x\_1 \\ge 0$. Donc si on pose : $x\_3 &= 6 - 3x\_1 + 2x\_1$, nous avons :

$x\_3 \\ge 0$ et $3x\_1 + 2x\_2 + x\_3 &= 6$

De même :

$-3x\_1 + 2x\_2 \\le 0$ Si on pose $x\_4 &= 3x\_1 - 2x\_2$ on a :

$x\_4 \\ge 0$ et $-3x\_1 + 2x\_2 + x\_4 &= 0$

Ainsi nous avons $(P\_c)$ défini par :

<latex> \\[ (P_c) \\left\\{ \\begin{aligned} \\mbox{Minimiser} -x_2 \\\\ \\mbox{Sous les contraintes} :\\\\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 6 \\\\ -3x_1 + 2x_2 +x_4 &= 0 \\\\ x_1,x_2,x_3,x_4 \\in \\mathbb{N} \\end{aligned} \\right. \\] </latex>

### Question 1)

On a :

<latex> \\[ (P_c) \\left\\{ \\begin{aligned} \\mbox{Minimiser c}X \\\\ \\mbox{Sous les contraintes} :\\\\ AX &= b \\\\ X \\ge 0 \\end{aligned} \\right. \\] </latex>

Avec :

<latex> \\[ A &= \\left( \\begin{array}{ c c c c } 3 & 2 & 1 & 0\\\\ -3 & 2 & 0 & 1 \\end{array} \\right) \\]

\\[ b &= \\left( \\begin{array}{ c } 6\\\\ 0 \\end{array} \\right) \\]

\\[ c &= \\left( \\begin{array}{ c c c c} 0 & -1 & 0 & 0 \\end{array} \\right) \\] </latex>

On a choisis la base constitué par les 2 premiers vecteurs colonnes de $A$ c'est à dire :

<latex> \\left(\\begin{array}{ c }

```
  3\\
  -3
\end{array}\right)
```

,\\left(\\begin{array}{ c }

```
   2\\
   2
\end{array}\right)
```

</latex>

Ce qui donne :

<latex>B &= \\left(

```
\begin{array}{ c c}
   3 & 2\\
   -3 & 2
\end{array} 
```

\\right) </latex>

On inverse la matrice $B$

<latex>B^{-1}=\\frac{1}{det(B)}</latex>